紧致型稳定曲线的单值性：刚性与延拓

设 ${\cal M}_{g,n}$（当 $2g-2+n>0$ 时）为 $n$ 点、亏格 $g$ 光滑曲线的模栈。对于定义在连通基上此类曲线的一个族 $C\to S$ 以及 $S$ 上的一个几何点 $\xi$，相应的单值表示是由代数基本群诱导的同态 $\pi_1(S,\xi)\to\pi_1({\cal M}_{g,n},[C_\xi])$。众所周知，若 $S$ 是不可约、既约、在特征零的域 $k$ 上局部有限型的，则纤维 $C_\xi$ 及相应的单值表示决定了该族的相对同构类。本文第一部分表明，此表示的适当商已足够。这些结果随后被用于证明：与 $n$ 点、亏格 $g$ 紧致型稳定曲线族 $C\to S$（即诱导同态 $\pi_1(S,\xi)\to\pi_1(\widetilde{\cal M}_{g,n},[C_\xi])$，其中 $\widetilde{\cal M}_{g,n}$ 表示 $n$ 点、亏格 $g$ 紧致型稳定曲线的模栈）相关的单值表示刻画了平凡族与等变族。设 $U$ 为特征零域 $k$ 上正规、不可约、局部 noether 概型 $S$ 的开子概型，并设 $C\ra U$ 为紧致型稳定曲线族。本文第二部分给出将 $C\to U$ 延拓为 $S$ 上紧致型稳定曲线族的判别准则。