关于 $\mathbb C$ 上椭圆曲线族中的单值性

我们证明，如果给定一个定义在 $\mathbb C$ 上的光滑非平凡椭圆曲线族，其底空间 $B$ 光滑，且映射 $J\colon B\to\mathbb A^1$（将纤维的 $j$-不变量赋给一个点）的一般纤维是连通的，则该族的单值群（作用于纤维的 $H^1(\cdot,\mathbb Z)$ 上）与 $\mathrm{SL}(2,\mathbb Z)$ 重合；如果一般纤维有 $m\ge2$ 个连通分支，则单值群在 $\mathrm{SL}(2,\mathbb Z)$ 中的指数至多为 $2m$。相比之下，在\emph{任意}亏格 $g\ge3$ 的超椭圆曲线族中，单值群严格小于 $\mathrm{Sp}(2g,\mathbb Z)$。给出了一些应用，包括应用于 Del Pezzo 曲面的超平面截线的单值性。