着色峰代数与 Hopf 代数

对于有限 Abel 群 $G$，我们研究 $G_n=G^n\rtimes \SG_n$（即 $G$ 与对称群 $\SG_n$ 的圈积，亦称为 $G$-着色对称群）上一般等价关系的性质。我们证明在某些条件下，一些等价关系可导出 $\k G_n$ 的子代数以及 $\bigoplus_{n\ge o} \k G_n$ 的分次连通 Hopf 子代数。特别地，我们构造了 Mantaci-Reutenauer 代数（或 $G$-着色下降代数）的一个 $G$-着色峰子代数。我们证明 $G$-着色峰代数的直和是 Hopf 代数。对于 Loday-Ronco 平面二叉树的 Hopf 代数，我们也得到类似的 $G$-着色结果。对于所研究的许多等价关系，我们得到一个从有限 Abel 群范畴到分次连通 Hopf 代数范畴的函子。我们通过描述 $G$-着色下降 Hopf 代数到其像为 $G$-着色峰 Hopf 代数的一个 Hopf 自同态来结束我们的研究。我们概述了一个组合 $G$-着色 Hopf 代数的理论，其中 $G$-着色拟对称 Hopf 代数与 $G$-着色峰 Hopf 代数的分次对偶是核心对象。