带状图上的 Hopf 代数规范理论

我们将图上的规范理论推广，使得规范群变为有限维带状 Hopf 代数，图变为带状图，而联络、规范变换和可观测量等规范理论概念被线性化类比所取代。从物理考量出发，我们导出了 Hopf 代数规范理论的公理化定义，包括局部性条件，在该条件下，一般带状图的理论可由每个顶点邻域中的局部数据组装而成。对于一个具有 n 个入射边端的顶点邻域，联络的非交换“函数”代数对偶于规范 Hopf 代数的 n 重张量幂的双侧扭曲变形。我们证明这些代数可组装给出一个函数代数以及“可观测量”的规范不变子代数，它们与 Chern-Simons 理论的组合量化中得到的结果一致，从而提供了后者的公理化推导。然后我们讨论 Hopf 代数规范理论中的和乐，并证明对于半单 Hopf 代数，这为每个嵌入图中的路径给出一个从联络到规范 Hopf 代数的映射，且关于路径函子性地依赖。曲率——与带状图自然相关的面的和乐——则对应于可观测量代数的中心元，并定义了一组到平坦联络上可观测量子代数的交换投影算子。所有联络或平坦联络的可观测量代数都是拓扑不变量，分别仅依赖于通过沿带状图的边粘合环带或圆盘而自然得到的带孔或闭曲面的拓扑。