Goswami-Sun 级数的 CM 赋值

在近期的工作中，Sun 构造了两个 $q$-级数，并证明了当 $q\rightarrow1$ 时它们的极限给出了 Riemann-zeta 值 $\zeta(2)=\pi^2/6$ 与 $\zeta(4)=\pi^4/90$ 的新推导。Goswami 将这些级数推广为一个无穷族的 $q$-级数，并类似地利用它们得到了对每个正整数 $k$ 的 $\zeta(2k)\in\mathbb{Q}\cdot\pi^{2k}$ 赋值的新推导。由于众所周知 $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$，自然地会寻求这些级数涉及 $\Gamma$-函数特殊值的进一步特殊化。借助复乘理论，我们证明了这些级数在所有 CM 点 $\tau$ 处的值（其中 $q:=e^{2\pi i\tau}$）是特定 $\Gamma$-值之比的代数倍数。特别地，Ramanujan 的经典公式使我们能够在 $q=e^{-\pi}$、$e^{-2\pi}$ 时将这些级数显式求值为 $\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^4/\pi^3$ 的幂的代数倍数。