新的二次 P-Q 模方程的应用

在其第一本笔记的零散处，Ramanujan 记录了 107 个类不变量或它们所满足的不可约首一多项式的值。在其第二本笔记的第 294-299 页，他给出了 77 个类不变量 $G_n$ 和 $g_n$ 的值表。传统上，$G_n$ 由 $n$ 的奇数值确定，而 $g_n$ 由 $n$ 的偶数值确定。在其第一本笔记的第 338 和 339 页，Ramanujan 定义了显著的 theta 函数乘积 $a_{m, n}$。此外，他记录了取决于两个参数（即 $m$ 和 $n$）的十八个显式值，其中这些为奇整数。在本文中，我们开始研究 $n$ 为偶数值时 $G_n$ 的显式计算。我们建立了一个涉及类不变量 $g_n$ 的 $G_n$ 显式计算的新的通用公式。为此，我们推导出了一个新的二次 P-Q 模方程。通过该模方程的进一步应用，我们建立了一个显式计算 $a_{m, 2}$ 的新公式。此外，我们计算了类不变量 $g_{n}$ 和奇异模 $\alpha_n$ 的几个显式值。