作为模函数的 $10$ 阶 Ramanujan 连分数

我们探讨了 $10$ 阶连分数 $I(\tau), J(\tau), T_1(\tau), T_2(\tau)$ 和 $U(\tau)=I(\tau)/J(\tau)$ 的模性，其中 $I(\tau)$ 和 $J(\tau)$ 由 Rajkhowa 和 Saikia 引入，是 Ramanujan 某些恒等式的特例。特别地，我们证明这些连分数可以用 $\eta$-商 $g(\tau)$ 表示，该 $\eta$-商生成了同余子群 $\Gamma_0(10)$ 上所有模函数的域。因此，我们证明了 $g(\tau)$ 和 $U(\tau)$ 在任意层级上的模方程均存在，并推导了素数层级 $p\leq 11$ 的这些方程。我们还证明了 $10$ 阶连分数可以使用 $g(\tau)$ 的奇异值进行显式求值，该奇异值在特定条件下生成某虚二次域的 Hilbert 类域。我们采用 Lee 和 Park 的方法来确立我们的结果。