警报-出租车模型的经典解与广义解

在有界的二维空间域内，系统\begin{equation*} \left\lbrace\begin{alignedat}{3} u_t &= d_1 \Delta u &&&&+ u(\lambda_1 - \mu_1 u - a_1 v - a_2 w), \\ v_t &= d_2 \Delta v &&- \xi \nabla \cdot (v \nabla u) &&+ v(\lambda_2 - \mu_2 v + b_1 u - a_3 w),\\ w_t &= d_3 \Delta w &&- \chi \nabla \cdot (w \nabla (uv)) &&+ w(\lambda_3 - \mu_3 w + b_2 u + b_3 v), \end{alignedat}\right\end{equation*} 伴随初始条件和齐次Neumann边界条件，模型描述了猎物（密度为u）、猎人（密度为v）和次级猎人（密度为w）之间的相互作用后者会捕食另外两种动物。除了随机运动和主要捕食者的猎物战术行为外，本系统的关键方面在于次级捕食者会反应主要捕食者攻击猎物时发出的警报呼叫。我们首先在纯警报-出租车模型中，即$\xi = 0$时，证明存在全局经典解。对于完整模型（$\xi > 0$），出租车项以及第一个方程中$-a_2 uw$项似乎阻碍了某些引导程序，意味着可用性的正则性信息相对有限。尽管如此，我们能够获得全局广义解。一个重要的技术挑战是保证（加权）梯度的第一两个分量的强收敛，以便得出近似解收敛于极限问题的广义解。