从间接趋化到直接趋化的快速反应极限

许多生态人口模型将趋化视为动物对刺激作出的定向运动。趋化被称为直接的，当动物依据另一种人口密度梯度指引；若动物依据由另一种人口个体分泌的化学物质密度指引，则称为间接的。设 $u$ 和 $v$ 表示两种人口的密度，$w$ 表示由 $v$ 人口个体分泌的化学物质密度。我们考虑一个有界开放集 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$，并在空间维数 $N\leq 2$ 时，证明了 Lotka-Volterra 竞争模型具有间接趋化和齐次 Neumann 边界条件的解 $$u_t - d_u\Delta u = \chi \nabla \cdot u \nabla w +\mu_1u(1-u-a_1v)\,,$$ $$v_t - d_v\Delta v = \mu_2v(1-v-a_2u)\,,$$ $$\varepsilon ( w_t - d_w\Delta w )= v- w\ ,$$ 在 $\varepsilon\longrightarrow 0$ 时收敛于直接趋化模型的解 $$u_t - d_u\Delta u = \chi \nabla \cdot u \nabla v +\mu_1u(1-u-a_1v)\,,$$ $$v_t - d_v\Delta v = \mu_2v(1-v-a_2u)\,$$。对于空间维数 $N\geq 3$，我们使用紧致性 argument 表明该结果在某种弱意义下也成立。对于具有捕食者-猎物模型也证明了类似结果，其中猎物进行趋化并有Logistic 增长。