一类完全交叉扩散捕食者-猎物系统的存在理论与定性分析

本稿考虑捕食者-猎物系统在开有界区间 $\Omega$ 作为空间域上的 Neumann 初边值问题 $$\left\{ \begin{array}{l} u_t = D_1 u_{xx} - \chi_1 (uv_x)_x + u(\lambda_1-u+a_1 v), \[1mm] v_t = D_2 v_{xx} + \chi_2 (vu_x)_x + v(\lambda_2-v-a_2 u), \end{array} \right. \qquad \qquad (\star)$$ 其中对 $i\in\{1,2\}$，参数 $D_i, a_i, \lambda_i$ 和 $\chi_i$ 均为正。由于两种相互作用的趋化型交叉扩散机制同时出现，其中之一甚至为吸引型，基于抛物演化问题的经典结果能在多大程度上建立解理论似乎并不明确。为了尽管如此仍创建一个能够提供整体存在性结果以及定性行为详细信息的分析框架，本文通过抛物正则化策略，在此过程中用涉及薄膜型退化扩散算子的某些四阶问题逼近 ($\star$)。在其设计中，一个主要挑战与保持同某些形式上关联于 ($\star$) 的基本熵型结构一致性的追求有关；特别地，这将促使构建一个包含两个自由参数的逼近格式，这两个参数最终将根据 $\lambda_2$ 相对于 $a_2 \lambda_1$ 的大小以不同方式固定。