Barbell 图与 Hatcher-Wagoner Invariant

对于半未缠绞的植入 $(i,n-i)$-barbell $\beta=\beta_{i,n-i}$ 在 $M^n$ 中的情况，我们构造了两个特定的伪等温化，称为标准 barbell 伪等温化，均导致该 barbell 同胚，仅包含单个 eye 的 Cerf 图且具有易于计算的 Hatcher-Wagoner 不变式。我们给出 $\beta_{2,n-2}$ 和一类 $\beta_{3,n-3}$ 的显式公式。利用此，我们表明对于 $n\geq 6$，每个 first Hatcher-Wagoner 不变式为零的伪等温化都可以等温化为由 $i=2$ 或 $3$ 的标准 barbell 伪等温化组成。对于维数 $n=4$，我们进一步推广了构造和计算以处理半未缠绞浸入型 barbell 同胚diffeomorphisms，证明对于每一个 $s\in \mathbb{Z}_2, \sigma\in \pi_2 M, \gamma\in \pi_1 M$ 且 $s=0 \text{ 或 }w_2^M(\sigma)\neq0$，都存在一个标准浸入型 barbell 伪等温化 $f_\beta$，其第二个诱导 Hatcher-Wagoner 不变式为 $\Theta(f_\beta)=(s,\sigma)\cdot [\gamma]$。