三维伪同构及其在复 Monge-Ampère 方程中的应用

设 $X$ 和 $Y$ 为三维紧致 Kähler 流形。若双全纯映射 $f:X\rightarrow Y$ 满足 $f:X-I(f)\rightarrow Y-I(f^{-1})$ 是同构，则称其为伪同构。本文研究了伪同构的一些性质。作为应用，对于三维中的任意伪同构以及 $X\times X$ 上代表对角线 $\Delta_X$ 上同调类的光滑闭 $(3,3)$ 形式 $\delta$，我们关联了一个 Monge-Ampère 算子 $MA(f^*(\theta),\delta)=f^*(\theta)\wedge f^*(\theta)\wedge f^*(\theta)$，此处 $\theta$ 是 $Y$ 上的光滑闭 $(1,1)$ 形式。我们表明，若满足以下上同调条件，则该 Monge-Ampère 算子与 $\delta$ 的选择无关：{\bf 条件。} 对于任意曲线 $C\subset I(f^{-1})$，在上同调中有 $\{\theta \}.\{C\}=0$。最后，我们考察了一个简单的三维伪同构。