基于 Budney-Gabai 不变式的 4 维 1-手柄体映射类群

我们定义了一个不变式 $(W_3)_m$ 用于 $\pi_0\mathrm{Diff}(\natural_m S^1\times D^3,\partial)$，其中 $m\geq 1$，其扩展了 Budney--Gabai 的 $W_3$ 不变式。我们给出一种受 Budney--Gabai 启发的计算框架，并用于计算 $m=1,2$ 时 $\natural_m S^1\times D^3$ 中所有无打结的 barbell 微分同胚的该不变式。这使我们能够检测更多线性无关的元素于 $\pi_0\mathrm{Diff}(S^1\times D^3,\partial)$，并证明 $\pi_0\mathrm{Diff}( \natural_2 S^1\times D^3,\partial)/ \left( \pi_0 \mathrm{Diff}(S^1\times D^3,\partial)\right)^2$ 包含由无打结的 barbell 微分同胚生成的无限生成子群，从而导致无数与边界相对嵌入的非同调的分离 3-球。