Hénon 重归一化下的不变空间：Cantor 吸引子的内蕴几何

定义在立方体 $B$ 上的三维 Hénon 类映射为 $$F(x,y,z) = (f(x) - \epsilon (x,y,z),\ x,\ \delta (x,y,z))$$。重归一化下的不变空间仅出现在更高维情形中。考虑满足条件 $$\partial_y \delta \circ F(x,y,z) + \partial_z \delta \circ F(x,y,z) \cdot \partial_x \delta (x,y,z) \equiv 0$$ 的可重归一化映射，其中 $(x,y,z) \in B$。记满足上述条件的映射集合为 $\mathcal N$。则集合 $\mathcal N \cap \mathcal I(\bar \epsilon)$ 在重归一化算子下是不变的，其中 $\mathcal I(\bar \epsilon)$ 是无限可重归一化映射的集合。$\mathcal N \cap \mathcal I(\bar \epsilon)$ 中的 Hénon 类微分同胚具有普适常数 $b_2 \asymp | \partial_z \delta |$ 和 $b_1 = b_F /b_2$，其中 $b_F$ 是 $F$ 的平均 Jacobian。对于 $F \in \mathcal N \cap \mathcal I(\bar \epsilon)$ 的 Cantor 吸引子 $\mathcal O_F$，其在 $b_1$ 的参数空间中几乎处处具有**无界几何**。若 $\mathcal N$ 中的两个映射具有不同的普适常数 $b_1$ 和 $\widetilde b_1$，则两个 Cantor 吸引子之间的同胚映射至多是 Hölder 连续的，这被称为**非刚性**。