半线性 curl-curl 波动方程的呼吸子与怪波

我们考虑半线性 curl-curl 波动方程 $s(x) \partial_t^2 U +\nabla\times\nabla\times U + q(x) U \pm V(x) |U|^{p-1} U = 0$ 在 $(x,t)\in \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$ 及任意 $p>1$ 时的变体的局域解。依据系数 $s, q, V$，我们可证明三类局域解的存在性：在空间无穷远处衰减至 $0$ 的时间周期解、在空间无穷远处趋于非平凡轮廓的时间周期解（这两类均称为呼吸子），以及在空间与时间无穷远处均收敛于 $0$ 的怪波。我们的解为弱解且取梯度场形式。因此它们属于 curl 算子的核，从而由于对系数的结构假设，半线性波动方程被化为一个 ODE。由于该 ODE 中空间依赖仅为参数依赖，我们可用相平面技术分析此 ODE，从而确立上述局域波的存在性。我们分析的一个值得注意的副作用是紧支撑呼吸子的存在，以及一个局域波解 $U(x,t)$ 已生成一整连续统的相移解 $U(x,t+b(x))$，其中连续函数 $b:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ 属于某个合适的可容许族。