一类拟线性 $(1+1)$ 维波动方程的呼吸子解

我们考虑 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 上的 $(1+1)$ 维拟线性波动方程 $g(x)w_{tt}-w_{xx}+h(x) (w_t^3)_t=0$，该方程出现在由 Kerr 非线性 Maxwell 方程建模的局域电磁波研究中。我们关注时间周期、空间局域的解。此处 $g\in L^{\infty}(\mathbb{R})$ 为偶函数且 $g\not\equiv 0$，$h(x)=\gamma\,\delta_0(x)$，其中 $\gamma\in{\mathbb{R}}\backslash\{0\}$，$\delta_0$ 为支集在 $0$ 的 delta 分布。我们假设对所有 $k\in 2\mathbb{Z}+1$，$0$ 位于 $L^2(\mathbb{R})$ 上算子 $L_k=-\frac{d^2}{dx^2}-k^2\omega^2g$ 的谱隙中，且 $L_k$ 的基本解集具有附加性质。通过将 $w$ 按时间作 Fourier 级数展开，我们将寻找适当定义的弱解问题转化为在序列空间上寻找泛函极小元。我们找到的解在空间上是指数局域的。此外，我们证明可通过截断时间 Fourier 级数很好地逼近它们。满足所有假设的引导性例子被显式给出为阶梯势与周期阶梯势 $g$。在这些例子中我们甚至找到了无穷多个互异的呼吸子。