具有周期势的半线性波动方程的实值时间周期局部化解

我们考虑半线性波动方程 $V(x) u_{tt} -u_{xx}+q(x)u = \pm f(x,u)$，针对三类 (P1)、(P2)、(P3) 周期势 $V,q$。(P1) 包含周期延拓的 delta 分布，(P2) 包含周期阶梯势，(P3) 包含某些周期势 $V,q\in H^r_{\per}(\R)$，其中 $r\in [1,3/2)$。在其他假设中，我们假定 $|f(x,s)|\leq c(1+ |s|^p)$ 对某个 $c>0$ 和 $p>1$ 成立。在每一类中，我们都能找到合适的势，它们产生一个临界指数 $p^\ast$，使得对于 $p\in (1,p^\ast)$，无论是在“+”还是“-”情形下，我们都可以使用变分方法证明存在在空间方向上局部化的时间周期实值解。在 (P1) 和 (P2) 类中，势是显式构造的；在 (P3) 类中，势是通过逆谱理论的一个近期结果找到的。临界指数 $p^\ast$ 依赖于 $V, q$ 的正则性。我们的结果建立在对解的 Fourier 展开以及对波算子谱的详细分析之上。事实上，通过精心选择势以及空间和时间周期，波算子 $V(x)\partial_t^2-\partial_x^2+q(x)$（在合适的时间周期函数空间上考虑）的谱被证明是有界远离 $0$ 的。这使得我们能够在合适的 Hilbert 空间上将弱解作为一个泛函的临界点找到，并应用处理强不定变分问题的工具。