具有径向对称系数的半线性旋度-旋度波动方程的呼吸子构造

我们考虑半线性旋度-旋度波动方程 $s(x) \partial_t^2 U +\nabla\times\nabla\times U + q(x) U \pm V(x) |U|^{p-1} U = 0 \mbox{ for } (x,t)\in \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$。对于任意 $p>1$，我们在略微不同的假设下证明了 $+$ 与 $-$ 情形均存在时间周期、空间局域化的实值解（呼吸子）。我们的解是经典解，在空间上径向对称且当 $|x|\to \infty$ 时指数衰减至 $0$。我们的方法基于径向对称函数的梯度场被旋度-旋度算子零化这一事实。因此，半线性波动方程被简化为以 $r=|x|$ 为参数的常微分方程。该常微分方程可在相空间中有效分析。作为我们分析的一个副作用，我们不仅得到了一个特定的呼吸子，还得到了相移呼吸子 $U(x,t+a(x))$ 的连续统，其中 $U$ 是一个特定的呼吸子，而 $a:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ 是任意径向对称的 $C^2$ 函数。