有界域中半线性时谐 Maxwell 方程组的基态与束缚态解

我们在单连通、光滑、有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$（具有连通边界和外法向量 $\nu:\partial\Omega\to\mathbb{R}^3$）上寻找问题 $$\left\{\begin{aligned} &\nabla\times(\nabla\times E) + \lambda E = \partial_E F(x,E) &&\quad \text{in}\Omega\ &\nu\times E = 0 &&\quad \text{on}\partial\Omega \end{aligned} \right.$$ 的解 $E:\Omega\to\mathbb{R}^3$。此处 $\nabla\times$ 表示 $\mathbb{R}^3$ 中的旋度算子，非线性项 $F:\Omega\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ 关于 $E$ 是超二次且次临界的。模型非线性项形式为 $F(x,E)=\Gamma(x)|E|^p$，其中 $\Gamma\in L^\infty(\Omega)$ 为正，且 $2<p<6$。它不必是径向的，甚至在 $E$ 变量上也不必是偶函数。该问题源于时谐 Maxwell 方程组，边界条件对应于 $\Omega$ 被理想导体包围的情形。