$\mathbb{R}^3$中的非线性旋度-旋度问题

我们综述了关于旋度-旋度问题 $$\nabla\times(\nabla\times u)+V(x)u= f(x,u) \quad\hbox{ in } \mathbb{R}^3,$$ 的基态和束缚态$u\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$的近期结果，该问题源于非线性麦克斯韦方程。由于$\nabla\times(\nabla\times \cdot)$的无穷维核，与该问题相关的能量泛函是强不定的。非线性$f$的增长在无穷远处是超线性和次临界的，或是纯临界的，我们展示了一种涉及广义Nehari流形的变分方法来处理该问题。我们还给出了已知结果的一些改进。