柱对称介质中非线性旋度 - 旋度问题的基态

我们考虑 $\mathbb{R}^3$ 中与单色场非线性 Maxwell 方程组相关的非线性旋度 - 旋度问题 $\nabla\times\nabla\times U + V(x) U= \Gamma(x)|U|^{p-1}U$。我们寻找作为定义在 $H(\mathrm{curl};\mathbb{R}^3)$ 的子空间（散焦情形）或自然约束（聚焦情形）上的相应能量泛函的极小值（基态）的解。在函数 $V$ 和 $\Gamma$ 满足柱对称性假设下，该变分问题可置于 $H(\mathrm{curl};\mathbb{R}^3)$ 的一个对称子空间中。对于强散焦情形 $\mathrm{esssup}\, \Gamma <0$ 且 $\Gamma$ 在无穷远处取较大负值的情况，我们通过直接极小化方法获得基态。对于聚焦情形 $\mathrm{essinf}\, \Gamma >0$，在假设零不在算子 $\nabla \times \nabla \times +V(x)$ 的谱中的条件下，浓度紧性原理可产生基态。文中提供了满足此条件的柱对称函数 $V$ 的示例。