各向异性有界介质中的非线性时谐麦克斯韦方程

我们寻求问题 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{aligned} &\nabla\times(\mu(x)^{-1}\nabla\times E) - \omega^2\epsilon(x) E = \partial_E F(x,E) &&\quad \text{in }\Omega\\%\newline &\nu\times E = 0 &&\quad \text{on }\partial\Omega \end{aligned} \right. \end{eqnarray*} 在具有外法向 $\nu:\partial\Omega\to\mathbb{R}^3$ 的有界 Lipschitz 区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 上的解 $E:\Omega\to\mathbb{R}^3$。此处 $\nabla\times$ 表示 $\mathbb{R}^3$ 中的旋度算子。该方程描述了时谐电场 $\Re\{E(x)e^{i\omega t}\}$ 在具有磁导率张量 $\mu(x)\in\mathbb{R}^{3\times3}$ 和介电常数张量 $\epsilon(x)\in\mathbb{R}^{3\times3}$ 的各向异性材料中的传播。边界条件对应于 $\Omega$ 被理想导体包围的情形。要求 $\mu(x)$ 和 $\epsilon(x)$ 对 $x\in\Omega$ 一致对称正定，且 $\mu,\epsilon\in L^{\infty}(\Omega,\mathbb{R}^{3\times 3})$。非线性项 $F:\Omega\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ 关于 $E$ 是超二次且次临界的，模型非线性项为 Kerr 型：$F(x,E)=|\Gamma(x)E|^p$，其中 $2<p<6$，$\Gamma(x)\in GL(3)$ 对每个 $x\in\Omega$ 可逆，且 $\Gamma,\Gamma^{-1}\in L^\infty(\Omega, \mathbb{R}^{3\times 3})$。我们证明了基态解的存在性，以及当 $F$ 关于 $E$ 为偶时的束缚态存在性。此外，若材料为单轴的，我们找到了两类具有柱对称性的解。