非线性非对称介质中麦克斯韦方程的行波

我们寻找满足非线性介质中麦克斯韦方程的行波场 $$E(x,y,z,t)= U(x,y) \cos(kz+\omega t)+ \widetilde U(x,y)\sin(kz+\omega t),\quad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\, t\in\mathbb{R}$$，该介质不必具有柱对称性。介质的非线性通过假设电场 $E$、其时间平均强度 $\langle |E|^2\rangle$ 与电位移场 $D$ 之间满足非线性物质定律 $D=\varepsilon E+\chi(x,y, \langle |E|^2\rangle)E$ 而进入麦克斯韦方程。我们导出关于剖面 $U,\widetilde U:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ 的一个新的半线性椭圆问题 $$Lu-V(x,y)u=f(x,y,u)\quad\hbox{with }u=\begin{pmatrix} U \\ \widetilde U \end{pmatrix}, \hbox{ for }(x,y)\in\mathbb{R}^2,$$ 其中 $f(x,y,u)=\omega^2\chi(x,y, |u|^2)u$。求解这个方程，我们可获得底层非线性麦克斯韦方程的精确行波解。我们能够处理超二次与次临界聚焦效应，例如在类 Kerr 介质中，其非线性极化率为 $\chi(x,y,\langle |E^2|\rangle E) = \chi^{(3)}(x,y)\langle |E|^2\rangle E$ 的形式。我们给出了该半线性问题的变分方法。由于 $L$ 含有无限维核，与该方程相关的能量泛函是强不定的。本文所发展的方法可能适用于其他强不定椭圆问题及其他非线性现象。