电磁学中出现的方程组解的存在性

在本文中，我们研究如下 $p(x)$-旋度系统：\begin{eqnarray*} \begin{cases} \nabla\times(|\nabla\times \mathbf{u}|^{p(x)-2}\nabla\times \mathbf{u})+a(x)|\mathbf{u}|^{p(x)-2}\mathbf{u}=\lambda f(x,\mathbf{u})+\mu g(x,\mathbf{u}),\quad\nabla\cdot \mathbf{u}=0,\; \mbox{ in } \Omega, \\ |\nabla\times \mathbf{u}|^{p(x)-2}\nabla\times \mathbf{u}\times \mathbf{n}=0,\quad \mathbf{u}\cdot \mathbf{n}=0, \mbox{ on } \partial\Omega, \end{cases} \end{eqnarray*} 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$ 是一个具有 $C^{1,1}$ 边界（记为 $\partial \Omega$）的有界单连通域，$p:\overline{\Omega}\to (1, +\infty)$ 是连续函数，$a \in L^\infty(\Omega)$，$f,g : \Omega \times \mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{3}$ 是 Carathéodory 函数，$\lambda,\mu$ 是两个参数。利用基于 Fountain 定理和对偶 Fountain 定理的变分论证，我们建立了该问题解的一些存在性与不存在性结果。我们的主要结果推广了 Xiang 等人（J. Math. Anal. Appl., 2017）、Bahrouni 和 Repovš（Complex Var. Elliptic Equ., 2018）以及 Ge 和 Lu（Mediterr. J. Math., 2019）的结果。