p-Laplacian 问题边缘情形的存在性结果

本文旨在研究以下新型渐近“线性”问题的至少一个非平凡有界解的存在性：$$\left\{ \begin{array}{ll} - {\rm div} \left[\left(A_0(x) + A(x) |u|^{ps}\right) |\nabla u|^{p-2} \nabla u\right] + s\ A(x) |u|^{ps-2} u\ |\nabla u|^p &\ \qquad\qquad\qquad =\ \mu |u|^{p (s + 1) -2} u + g(x,u) & \text{在 $\Omega$ 中},\ u = 0 & \text{在 $\partial{\Omega}$ 上,} \end{array}\right.$$其中 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中的有界域，$N \ge 2$，$1 < p < N$，$s > 1/p$，系数 $A_0(x)$ 与 $A(x)$ 均属于 $L^\infty(\Omega)$ 且远离 0，$\mu \in \mathbb{R}$，扰动项 $g(x,t)$ 为 $\Omega \times \mathbb{R}$ 上的 Carath\'{e}odory 函数，满足 $|t|^{r-1}$ 级渐近增长，其中 $1\le r < p (s + 1)$，且 $g(x,t) \approx \nu |t|^{p-2} t$ 当 $t \to 0$ 时。通过引入系数 $A_0(x)$ 相关的 $\nu$ 阈值、系数 $A(x)$ 相关的 $\mu$ 阈值，在对 $g(x,t)$ 作出适当假设后，若 $\nu$ 足够大且 $\mu$ 足够小，或 $\nu$ 足够小且 $\mu$ 足够大，则可证明存在非平凡弱解。采用变分方法求解，其中前者情形下使用最小化论证，后者情形下使用合适的山谷通过定理。