近复四维流形上的 Bott-Chern 与 $\bar\partial$ 调和形式

我们证明，在紧致近 Hermitian 四维流形上，$\bar\partial$-调和 $(1,1)$-形式的空间维数恒为 $h_{\bar\partial}^{1,1} = b_- +1$ 或 $b_-$，而 Bott-Chern 调和 $(1,1)$-形式的空间维数恒为 $h_{BC}^{1,1} = b_- +1$。我们还在 Kodaira-Thurston 流形上计算了 $h^{2,1}_{BC}$ 与 $h^{1,2}_{BC}$，从而完整说明了 $h^{p,q}_{BC}$ 何时不依赖于近 Hermitian 度量的选取。最后，我们引入了所有 $S^1$ 上的环丛上 $L^2$ 函数空间的一个分解，它已被证明对求解线性 PDE 有用，并展示其在计算 $h^{p,q}_{\bar\partial}$ 中的用途。