近复流形上的 Bott-Chern 拉普拉斯算子

设 $(M,J,g,\omega)$ 为一个 $2n$ 维近 Hermite 流形。我们将 Bott-Chern 拉普拉斯算子的定义推广到 $(M,J,g,\omega)$ 上，证明其仍为椭圆型。在紧 K"ahler 流形上，Dolbeault 拉普拉斯算子与 Bott-Chern 拉普拉斯算子的核一致。我们证明当 $(M,J,g,\omega)$ 为紧近 K"ahler 流形时该性质不成立，并在 Kodaira-Thurston 流形上给出显式的近 K"ahler 结构。此外，若 $(M,J,g,\omega)$ 为连通紧近 Hermite $4$-流形，记 $h^{1,1}_{BC}$ 为 Bott-Chern 调和 $(1,1)$-形式空间的维数，我们证明要么 $h^{1,1}_{BC}=b^-$ 要么 $h^{1,1}_{BC}=b^-+1$。特别地，若 $g$ 为近 K"ahler，则 $h^{1,1}_{BC}=b^-+1$，推广了 Holt 与 Zhang 关于 Dolbeault 拉普拉斯算子核的结果。我们还展示了在赋予严格局部共形近 K"ahler 度量的近复 $4$-流形上，Bott-Chern 与 Dolbeault 调和 $(1,1)$-形式空间的维数表现不同。最后，我们将某些 Bott-Chern 调和形式空间与 Coelho、Placini 和 Stelzig 近期引入的近复流形 Bott-Chern 上同调群联系起来。