关于局部共形 K\"{a}hler 流形上的调和对称

本文中，我们研究维数为 $dim_{\mathbb{C}}=n$ 的紧局部共形 K\"{a}hler 流形 $M$ 上的调和对称。调和对称空间是调和微分形式的一个子空间，由某类拉普拉斯型算子 $\square$ 的核定义。我们观察到对任意 $|l-n|\geq2$ 有 $\ker(\square)\cap\Omega^{l}=\{0\}$，且 $\ker\Delta_{\bar{\partial}}\cap P^{k,n-1-k}\cap\ker(i_{\theta^{\sharp}})\cong\ker(\square^{k,n-1-k})$，$\ker\Delta_{\bar{\partial}}\cap P^{k,n-k}\cong\ker(\square^{k,n-k})$。进一步，设 $M$ 为 Vaisman 流形，我们证明：(i) $\alpha$ 是 $\ker(\square)$ 中的 $(n-1)$-形式当且仅当 $\alpha$ 是横调和且横有效的 $\mathcal{V}$-叶状形式；(ii) $\alpha$ 是 $\ker(\square^{p,n-p})$ 中的 $(p,n-p)$-形式当且仅当存在两个形式 $\beta_{1}\in\mathcal{S}^{p-1,n-p}$ 与 $\beta_{2}\in\mathcal{S}^{p,n-p-1}$ 使得 $\alpha=\theta^{1,0}\wedge\beta_{1}+\theta^{0,1}\wedge\beta_{2}$。