“坏” Boussinesq 方程的爆破解

我们研究“坏” Boussinesq 方程的爆破解,并证明大范围的渐近情景可能发生。例如,对于每个 $T>0$、$x_{0}\in \mathbb{R}$ 和 $\delta \in (0,1)$,我们证明存在 $\mathbb{R} \times [0,T)$ 上的 Schwartz 类解 $u(x,t)$,使得当 $t\to T$ 时 $|u(x,t)| \leq C \frac{1+x^{2}}{(x-x_{0})^{2}}$ 且 $u(x_{0},t)\asymp (T-t)^{-\delta}$。我们还证明,对于任意 $q\in \mathbb{N}$、$T>0$、$x_{0}\in \mathbb{R}$、$\delta \in (0,\frac{1}{2})$,存在 $\mathbb{R} \times [0,T)$ 上的 Schwartz 类解 $u(x,t)$,使得 对于每个满足 $q_{1}+2q_{2}\leq q$ 的 $q_{1},q_{2}\in \mathbb{N}$,(i) $|\partial_{x}^{q_{1}}\partial_{t}^{q_{2}}u(x,t)|\leq C$;(ii) 对于每个满足 $q_{1}+2q_{2}= q+1$ 的 $q_{1},q_{2}\in \mathbb{N}$,$|\partial_{x}^{q_{1}}\partial_{t}^{q_{2}}u(x,t)| \leq C \frac{1+|x|}{|x-x_{0}|}$;(iii) 当 $t\to T$ 时,对于每个满足 $q_{1}+2q_{2}= q+1$ 的 $q_{1},q_{2}\in \mathbb{N}$,$|\partial_{x}^{q_{1}}\partial_{t}^{q_{2}}u(x_{0},t)| \asymp (T-t)^{-\delta}$。特别地,当 $q=0$ 时,该结果确立了破波解的存在性,即保持有界但其 $x$ 导数在有限时间内爆破的解。