与多重 zeta 值相关的双分次李代数

我们证明平凡群（arxiv:math/0009121 中 $G={e}$ 时的 $\widehat{\mathscr{D}}_{\bullet \bullet}(G)$）的 Goncharov 二面体李余代数 $D_{\bullet\bullet}:={\oplus}_{k\geq m \geq 1} D_{m,k}$ 是 Brown 线性化双重排李代数 $\mathfrak{ls}:={\oplus}_{k\geq m \geq 1}\mathfrak{ls}_m^k\subset \mathbb{Q}\langle x,z \rangle$ 的双分次对偶，后者的李括号是初始定义于 $\mathbb{Q}\langle x,z \rangle$ 上的 Ihara 括号。这是通过构造双分次李余代数的显式同构 $D_{\bullet \bullet} \to \mathfrak{ls}^\vee$ 实现的，其中 $\mathfrak{ls}^\vee$ 是在双分次意义下 $\mathfrak{ls}$ 的李余代数对偶。该工作导出两个陈述的等价性：“$D_{\bullet \bullet}$ 关于 Goncharov 的余括号公式是李余代数”与“$\mathfrak{ls}$ 被 Ihara 括号保持”。我们还证明了文献中似无书面证明的民间结果：对 $m \geq 2$，$D_{m,\bullet}:=\oplus_{k\geq m} D_{m,k}$ 分次同构（对偶）于 Ihara-Kaneko-Zagier 双重排空间 $\mathrm{Dsh}_{m}:=\oplus_{k\geq m} \mathrm{Dsh}_{m}({{k}-m}) \subset \mathbb{Q}[x_1,\dots,x_m]$，且给定线性映射 $f_m: \mathbb{Q}\langle x,z \rangle_m \to \mathbb{Q}[x_1,\dots,x_m]$（其中 $\mathbb{Q}\langle x,z \rangle_m$ 是由关于 $z$ 次数为 $m$ 的 $\mathbb{Q}\langle x,z \rangle$ 单项式线性生成的空间）限制为分次同构 $\bar{f}_m: \mathfrak{ls}_m:=\oplus_{k\geq m} \mathfrak{ls}_m^k \to \mathrm{Dsh}_{m}$。在此我们建立三个显式相容同构 $D_{\bullet \bullet} \to \mathfrak{ls}^\vee$、$D_{m\bullet}\to \mathrm{Dsh}_{m}^\vee$ 和 $\bar{f}_m: \mathfrak{ls}_m \to \mathrm{Dsh}_{m}$，其中 $\mathrm{Dsh}_{m}^\vee$ 是 $\mathrm{Dsh}_{m}$ 的分次对偶。