二次双种群平均场博弈系统中的分歧与隔离

我们寻找半线性椭圆系统的非常数归一化解 $$\begin{cases} - \nu \Delta v_i + g_i(v_j^2) v_i = \lambda_i v_i,\quad v_i>0 & \text{in $\Omega$} \\ \partial_n v_i = 0 & \text{on $\partial \Omega$}\\ \int_\Omega v_i^2\,dx = 1, & 1\leq i,j\leq 2, \quad j\neq i, \end{cases}$$ 其中 $\nu>0$，$\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 光滑有界，函数 $g_i$ 为正且递增，函数 $v_i$ 与参数 $\lambda_i$ 均未知。该系统通过 Hopf-Cole 变换由双种群遍历平均场博弈系统得到，后者描述具有同质参与者的微分博弈中的纳什均衡。在这些模型中，每个种群由大量不可区分的理性个体组成，旨在最小化某种长期平均准则。首先，我们讨论非平凡解的存在性，在 $g_i(s)=s$ 时使用变分法，一般情况下使用分歧法；其次，对于选定的非平凡解族，我们探讨在消失粘性极限下出现的隔离现象，即 $$\int_{\Omega} v_1 v_2 \to 0 \qquad \text{as }\nu\to0.$$