具有 Choquard 型聚集项的遍历平均场博弈

我们考虑整个空间 $\mathbb{R}^N$ 上的二阶遍历平均场博弈（Mean-Field Games, MFG）系统，其具有 coercive 势和由 Riesz 相互作用核定义的非局部聚集耦合。这些 MFG 系统描述了具有大量不可区分理性参与者的博弈的纳什均衡，这些参与者被吸引到人口高度分布的区域。均衡求解一个 PDE 系统，其中 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程与描述质量分布的 Kolmogorov-Fokker-Planck 方程相结合。由于吸引项强度与扩散部分行为之间的相互作用，我们将获得 MFG 系统经典解存在与不存在的三种不同情形。借助 Pohozaev 型恒等式，我们证明了在无势且 Hardy-Littlewood-Sobolev 超临界情形下 MFG 系统正则解的不存在性。另一方面，利用不动点论证，我们证明了在 Hardy-Littlewood-Sobolev 次临界情形下，至少对于小于给定阈值的质量，经典解的存在性。在质量次临界情形下，我们证明该阈值实际上可取为 $+\infty$。