长波区域线性化Navier-Stokes方程解的渐近行为

本文旨在描述在长波区域，即对于小的水平Fourier变量$\alpha$，当粘性$\nu$趋于零时，线性化Navier-Stokes方程在凹剪切层剖面附近的解的长时间行为。我们证明解指数收敛到0，除了在某些$\alpha$范围内，即$\nu^{1/4} \lesssim |\alpha| \lesssim \nu^{1/6}$，存在唯一的不稳定模态，其对应的特征值$\lambda$的实部$\Re \lambda$的量级为$\nu^{1/4}$。在此区域，我们给出了线性化Navier-Stokes方程解的完整描述，将其表示为唯一指数增长模态的投影与指数衰减项之和。该线性不稳定性的研究是研究Prandtl边界层和剪切层剖面非线性不稳定性的关键点。