单调黏性边界层中非线性不稳定性的发生
偏微分方程分析
2023-03-30 v2
摘要
本文研究近边界处纳维-斯托克斯方程剪切层剖面的非线性稳定性。该问题在黏性趋于0时 bounded 域中纳维-斯托克斯方程无黏极限的研究中起重要作用。纳维-斯托克斯方程剪切层的稳定性取决于其对欧拉方程的稳定性。若其对欧拉方程线性不稳定，则已知只要黏性足够小，其对纳维-斯托克斯方程也是非线性不稳定的：初始扰动持续增长直至在L^∞范数下达到O(1)。若其对欧拉方程线性稳定，则情形更复杂，因为黏性不稳定性慢得多，其增长率仅阶O(ν^{-1/4})(而非前一种情形的O(1))。目前不清楚线性不稳定性是否会完全发展直至达到O(1)量级，还是被非线性阻尼并在小得多的量级(例如O(ν^{1/4}))饱和。本文研究三次相互作用对线性不稳定性增长的影响。对于指数剖面和布拉修斯剖面，我们得到非线性驯服了线性不稳定性。因此我们猜想，小扰动仅增长至O(ν^{1/4})量级，在近边界临界层形成小涡卷。该猜想的数学证明尚属开放问题。
引用
@article{arxiv.2206.01318,
title = {Onset of nonlinear instabilities in monotonic viscous boundary layers},
author = {Dongfen Bian and Emmanuel Grenier},
journal= {arXiv preprint arXiv:2206.01318},
year = {2023}
}