奇秩与 k-标记奇 Durfee 符号的算术性质

设 $N^{0}(m,n)$ 为 $n$ 的具有奇秩 $m$ 的奇 Durfee 符号的个数，$N^{0}(a,M;n)$ 为 $n$ 的具有模 $M$ 同余于 $a$ 的奇秩的奇 Durfee 符号的个数。我们给出 $N^{0}(a,M;n)$ 的生成函数及其 $\ell$-剖分的显式公式，其中 $0\le a \le M-1$ 且 $M, \ell \in \{2, 4, 8\}$。由这些公式，我们得到 $N^{0}(a,M;n)$ 的一些有趣的算术性质。此外，设 $\mathcal{D}_{k}^{0}(n)$ 表示 $n$ 的 $k$-标记奇 Durfee 符号的个数。Andrews (2007) 猜想当 $n\equiv 4$ 或 6 (mod 8) 时 $\mathcal{D}_{2}^{0}(n)$ 为偶数，且当 $n\equiv 1, 9, 11$ 或 13 (mod 16) 时 $\mathcal{D}_{3}^{0}(n)$ 为偶数。利用我们关于奇秩的结果，我们证明了 Andrews 的猜想。