凸圆盘的面积

本文考虑二维黎曼流形中的度量球 $B(p,R)$，其中 $R$ 小于凸半径的一半。我们证明 $Area(B(p,R)) \geq \frac{8}{\pi}R^2$。该不等式在 $R$ 小于注入半径一半的情形下长期被猜想成立。该结果还给出了仅依赖于半径的拉普拉斯算子的第一个非零 Neumann 特征值 $\mu_2$ 的上界 $\mu_2(B(p,R)) \leq 2(\frac{\pi}{2 R})^2$。这在 $R$ 至多为注入半径一半的情形下也曾被猜想成立。