具有非紧半群生成元的代数 Riccati 方程的逼近

在这项工作中，我们证明了代数 Riccati 方程(ARE)的 Bochner 积分表示在系数和半群算子无任何紧性假设下是适定的。由该结果，我们进而能够确定，在某些假设下，这些方程的 Galerkin 逼近的解收敛到无限维解。进一步，我们应用这一一般结果来证明 ARE 的有限元逼近对于弱阻尼波半群过程在 $H^1(\Omega) \times L^2(\Omega)$ 范数下是最优的。数值例子中展示了弱阻尼波最优控制系统在 $H^1(\Omega) \times L^2(\Omega)$ 和 $L^2(\Omega)\times L^2(\Omega)$ 范数下函数增益的最优收敛速率。