准凸性与松弛变分问题中不可连续 Galerkin 方法的收敛性
数值分析
2025-01-22 v1 数值分析
偏微分方程分析
摘要
本文证明了不可连续 Galerkin 方法能够可靠地求解广泛的非线性变分问题。特别是，我们展示了这些方案通过消除单元之间连续性而提供了必需的灵活性，同时在准凸情况下保证收敛逼近。值得注意的是，准凸性是弹性学中最弱的凸性形式。此外，我们展示了在非凸情况下，离散最小化器收敛于松弛问题的最小化器。在这种情况下，最小化问题对应于原能量的准凸包。我们的ethods涵盖了已知所有在净能量上收敛的不可连续 Galerkin 公式。本工作解决了向量变分微积分中的开放性挑战：发展并严格证明能够可靠逼近具有潜在奇异解的非线性能量最小化问题的数值方案，这些问题在材料科学中经常遇到。
关键词
引用
@article{arxiv.2501.11944,
title = {Convergence of Discontinuous Galerkin Methods for Quasiconvex and Relaxed Variational Problems},
author = {Georgios Grekas and Konstantinos Koumatos and Charalambos Makridakis and Andreas Vikelis},
journal= {arXiv preprint arXiv:2501.11944},
year = {2025}
}