凸型最小化问题的局部不连续 Galerkin 有限元方法

凸型最小化问题中关于离散解与精确最小能量差的先验误差控制和后验误差控制的核心在于对该差异的严格控制。对于 p-Laplace 类型最小化问题的共形有限元离散化提供能量差的上界且具有最优收敛率。即便针对光滑解，已知的对于相同问题类别的高阶非共形有限元离散化（$2 < p < \infty$）的收敛率也仅为次优。因此，两能量原理（generalizing hyper-circle identities）的主流后验误差控制显得不平衡。创新性的出发点在于对两种不连续 Galerkin (dG) 方案的细致分析，探索其离散原始问题与半离散对偶问题之间的二义性关系。无穷维对偶问题导致微小的二义性间隙，甚至对多项式低阶项而言该间隙可消失。对于具有两侧 $p$ 增长的退化凸型最小化问题类，新型二义性提供了离散最小能量误差的改进先验收敛率。这至少在所讨论的局部不连续 Galerkin 方案中闭补了共形与非共形方案之间的收敛率差距。作为激励的两能量原理和针对 Raviart-Thomas 对偶变量的某些后处理，提供了一种后验误差控制，可驱动自适应网格细化。计算基准测试提供了对自适应超越均匀网格细化收敛率的强有力数值证据。