有限 N 下 Sachdev-Ye-Kitaev 模型的解析谱密度

我们分析地证明了 $q$ 体 Sachdeev-Ye-Kitaev (SYK) 模型的谱密度与 Q-Hermite 多项式的谱密度一致，其中 Q 是 $q \ge 2$ 和 Majorana 费米子数 $N \gg 1$ 的非平凡函数。通过精确对角化获得的数值结果与解析谱密度非常吻合，即使对于相对较小的 $N \sim 8$。对于 $N \gg 1$ 且不接近谱边缘的情况，我们发现宏观谱密度简化为 $\rho(E) \sim \exp[2\arcsin^2(E/E_0)/\log \eta]$，其中 $\eta$ 是相交 Wick 收缩相对于嵌套收缩贡献的抑制因子。该谱密度再现了在大 $q$ 和 $N$ 极限下自由能的已知结果。在红外区域，SYK 模型被认为具有引力对偶，谱密度由 $\rho(E) \sim \sinh[2\pi \sqrt 2 \sqrt{(1-E/E_0)/(-\log \eta)}]$ 给出。因此它具有平方根边缘，如同随机矩阵系综一样，随后是指数增长，这是黑洞以及低能核激发的一个显著特征。该区域能级统计的结果证实了与随机矩阵理论的一致。从物理上看，这是一个特征，表明在足够长的时间下，SYK 模型及其引力对偶演化为完全遍历态，其动力学仅依赖于系统的整体对称性。我们的结果强烈暗示随机矩阵关联是量子黑洞的普遍特征，并且 SYK 模型与全息术相结合，可能与建模核动力学的某些方面相关。