一维果冻模型中线性和统计量的方差精确公式

我们考虑线上 $N$ 个粒子的果冻模型,其受限在外谐势中,并具有强度为 $\alpha > 0$ 的成对一维库仑排斥。利用库仑气体方法,我们研究 $s = (1/N) \sum_{i=1}^N f(x_i)$ 的统计,其中 $f(x)$ 原则上为任意光滑函数。虽然 $s$ 的均值易于计算,但由于长程库仑相互作用,其方差是非平凡的。本文中我们证明,对于大 $N$,围绕该均值的涨落为高斯型,方差为 ${\rm Var}(s) \approx b/N^3$。我们给出了常数 $b = 1/(4\alpha) \int_{-2 \alpha}^{2\alpha} [f'(x)]^2\, dx$ 的一个精确紧致公式。此外,我们还针对若干不同的 $f(x)$ 例子计算了刻画全分布 ${\cal P}(s,N)$ 尾部特征的全大偏差函数。我们的解析预言通过数值模拟得到证实。