Hasse-Weil界在有限域上有理函数的一个应用

我们利用奇曲线的Aubry-Perret界（Hasse-Weil界的一个推广）证明以下关于有限域上有理函数的一个奇特结果：设$f(X),g(X)\in\Bbb F_q(X)\setminus\{0\}$满足$q$相对于$\text{deg}\, f$与$\text{deg}\, g$充分大，$f(\Bbb F_q)\subset g(\Bbb F_q\cup\{\infty\})$，且对“大多数”$a\in\Bbb F_q\cup\{\infty\}$，$|\{x\in \Bbb F_q:g(x)=g(a)\}|>(\text{deg}\, g)/2$。则存在$h(X)\in\Bbb F_q(X)$使得$f(X)=g(h(X))$。亦包含了到多元有理函数的推广。