有限域上曲线的非阿贝尔 zeta 函数的黎曼假设

本文针对有限域 $\mathbb F_q$ 上亏格为 $g$ 的整正则射影曲线，为更高秩非阿贝尔 zeta 函数的黎曼假设发展了一些基本技术。作为这些本真 zeta 函数黎曼假设的应用，我们得到了 $X/\mathbb F_q$ 的基本非阿贝尔 $\alpha$- 与 $\beta$-不变量关于 $X$ 以及 $n,\, q$ 和 $g$ 的若干显式界：$$\alpha_{X,\mathbb F_q;n}(mn) = \sum_{V}\frac{q^{h^0(X,V)}-1}{\#\mathrm{Aut}(V)} \qquad{\rm and}\qquad \beta_{X,\mathbb F_q;n}(mn ):= \sum_{V}\frac{1}{\#{\mathrm Aut}(V)}\qquad(m\in \mathbb Z)$$ 其中 $V$ 遍历 $X$ 上所有次数为 $mn$ 的秩 $n$ 半稳定 $\mathbb F_q$-有理向量丛。特别地，$$\prod_{k=1}^{n}\frac{\ \big( \sqrt q^k-1\big)^{2g-1}\ }{(\sqrt q^k+1)}\leq q^{-\binom{n}{2}(g-1)} \beta_{X,\mathbb F_q;n}(0) \leq \prod_{k=1}^{n}\frac{\ \big( 1+\sqrt q^k\big)^{2g-1}\ }{(\sqrt q^k-1)},$$ 最后，我们证明了低秩的相关界反过来在建立高秩 zeta 的黎曼假设中起着核心作用。