通过分圆函数域改进阿廷-施赖尔曲线的哈塞-韦伊界

相应的哈塞-韦伊界是数学史上的一个重大突破，已在数学、编码理论和理论计算机科学中找到诸多应用。一般而言，哈塞-韦伊界是紧的，无法被改进。然而，当应用于某些特定曲线类时，哈塞-韦伊界不再紧。阿廷-施赖尔曲线族是哈塞-韦伊界不紧的例子之一。由于阿廷-施赖尔曲线在编码、密码学和理论计算机科学中的各种应用，研究者们已付出巨大努力来改进阿廷-施赖尔曲线的哈塞-韦伊界。本文关注特征为 $p$ 的有限域 $\mathbb{F}_q$ 上由 $y^p-y=f(x)$ 定义的阿廷-施赖尔曲线的有理位个数，其中 $f(x)$ 是 $\mathbb{F}_q[x]$ 中的多项式。我们解决此问题的路线如下：首先证明阿廷-施赖尔曲线 $y^p-y=f(x)$ 的函数域 $E_f:=\mathbb{F}_q(x,y)$ 是某个分圆函数域的子域；然后利用类域论证明该曲线的点数上界由某个线性码的最小距离的函数给出；通过分析该线性码的最小距离，我们改进了阿廷-施赖尔曲线的哈塞-韦伊界和塞尔界。