Mathar 2021 年关于 Lehmer-Comtet 对角线 A045406 递推式的简明证明

对于 OEIS 序列 A045406（Lehmer-Comtet 三角形 A008296 的第 2 列对角线），R. J. Mathar 于 2021 年 9 月提出了如下阶 2 P-递归递推式：$$a(n) + (2n-7)\,a(n-1) + (n-4)^{2}\,a(n-2) \;=\; 0,\qquad n \ge 5.$$ 我们给出简明证明。Detlefs 提出的调和数闭式表达式 $a(n) = (-1)^n (2 H_{n-3} - 3)(n-3)!$（其中 $H_n$ 为调和数）对左侧化简后，提取公共因子 $(-1)^n (n-5)! (n-4)$，化为关于 $n$ 的多项式恒等式，其系数为 $H_{n-4}$。该 $H_{n-4}$-系数化简为 $(n-3) - (2n-7) + (n-4) = 0$（利用 $H_{n-3} = H_{n-4} + 1/(n-3)$ 和 $H_{n-5} = H_{n-4} - 1/(n-4)$）；常数项因同样原因为零。补充档案包含验证两部分的 SymPy 脚本、对调和闭式的指数生成函数展开，以及对 Mathar 递推在 $n = 5, \ldots, 5000$ 的数值验证。