阶数下降、Hecke 下降，以及对称立方超几何系数的模 p^4 超同余

我们证明对称立方系数 $A_n=(-27)^n[z^n]\,_2F_1(1/3,1/3;1;z)^3$ 满足超同余 $A(mp)\equiv A(m) \bmod p^4$，对所有素数 $p\geq 5$ 和所有 $m\geq 1$ 成立。证明依赖于三个要素：（i）模识别 $F(t(\tau))=\eta(\tau)^9/\eta(3\tau)^3$，其中 $t(\tau)=\eta(3\tau)^{12}/\eta(\tau)^{12}$，其对数导数是 $\Gamma_0(3)$ 上权 5 艾森斯坦级数 $C(q)=3E_5(\chi_0,\chi_3)$；（ii）$C$ 的系数满足精确同余 $c_{mp^r}\equiv c_{mp^{r-1}} \bmod p^{4r}$，结合拉格朗日-伯曼提取；（iii）弱全纯形式上的 Hecke 下降，其中缺陷在 $\Gamma_0(3)$ 上权 5 形式、特征 $\chi_3$ 的二维空间中展开，由 $C$ 和 $tC$ 张成，通过尖点适配基处理，第二个尖点由 Fricke 对合 $W_3$ 处理。作为独立结果，我们证明 Mao-Tian 三次递推在特化 $(1/3,1/3,1)$ 处从阶 3 下降到阶 2。