Mathar 2016 年递推猜想对于 OEIS A176677 序列的简明证明

对于 OEIS 序列 A176677，其由二次卷积递推公式定义：$a(0) = a(1) = 1$，且 $a(n+1) = \sum_{p=0}^n a(p) a(n-p) - 1$（当 $n \ge 1$ 时）。R.~J.~Mathar 在 2016 年 3 月提出了如下阶 4 P-递归递推猜想：$$(n+1)\,a(n) + 2(-3n+1)\,a(n-1) + (9n-13)\,a(n-2) - 4\,a(n-3) + 4(-n+4)\,a(n-4) = 0.$$ 我们给出简明证明。该卷积递推直接转化为常用生成函数 $G(z)$ 的代数方程 $z(1-z) G(z)^2 - (1-z) G(z) + (1 - z - z^2) = 0$，而 Mathar 的递推则作为 1 阶线性齐次常微分方程 $q_0(z) G(z) + q_1(z) G'(z) = R(z)$ 的系数形式，通过多项式除法模代数方程进行验证。其中的多项式 $q_1(z)$ 可分解为 $q_1(z) = -z(z-1)(2z-1)(2z^2 + 3z - 1)$，其根恰为 $G(z)$ 的奇点。Deutsch 对该问题的组合学解释（长度为 $n-1$ 的 Motzkin 路径中带两色水平零级步）得以保持。