Three short proofs of Mathar's 2014 conjecture for OEIS A002627

对于OEIS序列A002627，定义为以$a(0) = 0$为初始条件的非齐次一阶递推式$a(n) = n\,a(n-1) + 1$，R.~J.~Mathar于2014年2月记录下 conjectured 的二阶齐次递推式$a(n) - (n+1)\,a(n-1) + (n-1)\,a(n-2) = 0$（$n \ge 2$），该猜想在OEIS上保持标记为猜想已逾十年。我们给出三种简短证明。第一种仅需两行：对相邻索引上的递推式做差即可消去常数项（我们称之为齐次化）。第二种从指数生成函数$F(x) = (e^x-1)/(1-x)$直接读出相同关系。第三种基于二项式和形式$a(m) = \sum_{k=0}^{m-1} k!\binom{m}{k}$做帕斯卡规则 telescoping。所有三种推导都属于初等方法，仅需 undergraduate 级技巧。我们指出，相同的齐次化技巧还能清除OEIS上一整类满足$a(n) = p(n)\,a(n-1) + q(n)$且$q(n)$较简单的序列的 ``Conjecture: \dots'' 条目。