关于一类嵌套递推关系及其算术解

本文研究了一类嵌套递推关系 $a(n+1) = n - a^{(m)}(n) + a^{(m+1)}(n)$，该递推关系以整数 $m \ge 1$ 为参数，初始条件为 $a(1)=1$。我们证明 $a(n)=n-h(n)$ 是满足该条件的唯一解，其中 $h(n)$ 是一个算术序列，其中每个非负整数 $k$ 出现 $mk+1$ 次，$h(n)$ 以 1 为起始索引，使得 $h(1)=0$。我们推导出了 $h(n)$（进而 $a(n)$）的显式取整公式。主定理的证明涉及建立由递推产生的 $h(n)$ 的一个关键恒等式；随后利用 $h(n)$ 的算术性质以及迭代函数 $a^{(m)}(n)$ 在临界边界点处的性质来证明该恒等式。此外，还讨论了 $a(n)$ 及其部分和（对于 $m=2$）的组合解释，以及与整数序列在线百科全书（OEIS）的联系，包括 Connell 序列的推广。