关于Conway和Conolly的元斐波那契递归的变体

我们研究递归式 $A(n) = A(n-a-A^k(n-b)) + A(A^k(n-b))$，其中 $a \geq 0$, $b \geq 1$ 为整数，上标 $k$ 表示 $k$ 次复合，以及递归式 $C(n) = C(n-s-C(n-1)) + C(n-s-2-C(n-3))$，其中 $s \geq 0$ 为整数。我们证明，在适当的初始条件下，序列 $A(n)$ 和 $C(n)$ 对所有正整数有定义，并且是单调的，其前向差分序列仅由 0 和 1 组成。我们还证明了，由参数 $(k,a,b) = (k,0,1)$ 的递归式 $A(n)$ 和初始条件 $A(1) = A(2) = 1$ 生成的序列满足 $A(E_n) = E_{n-1}$，其中 $E_n$ 由 $E_n = E_{n-1} + E_{n-k}$ 定义，且对于 $1 \leq n \leq k$ 有 $E_n = 1$。